凯莱-哈密顿定理

Cayley-Hamilton Theorem

描述了矩阵与其特征多项式之间的关系

$n$ 阶矩阵的特征多项式为：

\begin{aligned} f (λ) & = | λ I - A | = λ^{n} + a_{n - 1} λ^{n - 1} + \dots + a_{1} λ + a_{0} \end{aligned}

则 $A$ 满足特征方程

\begin{array}{r} f (A) = A^{n} + a_{n - 1} A^{n - 1} + \dots + a_{1} A + a_{0} I = 0 \end{array}

\begin{array}{r} A^{n} = - a_{n - 1} A^{n - 1} - \dots - a_{1} A - a_{0} I \end{array}

矩阵 $A$ 的 $k$ 次幂( $k \geq n$ )可以表示为 $A$ 的 $n - 1$ 阶多项式

\begin{array}{r} A^{k} = \sum_{m = 0}^{n - 1} α_{m} A^{m} k \geq n \end{array}

矩阵指数函数 $e^{A t}$ 可以表示为 $A$ 的 $n - 1$ 阶多项式

\begin{array}{r} e^{A t} = \sum_{m = 0}^{n - 1} α_{m} (t) A^{m} \end{array}